Neformalno, grupa je ciklička ako je generira jedan element. Abelov je ako množenje mijenja. Grupa je ciklička ako je može generirati jedan element.
Je li abelova grupa ciklična?
Sve cikličke grupe su Abelove, ali Abelova grupa nije nužno ciklička. Sve podskupine Abelove grupe su normalne. U Abelovoj grupi, svaki element je u klasi konjugacije za sebe, a tablica znakova uključuje moći jednog elementa poznatog kao generator grupe.
Kako dokazati da je abelova grupa ciklična?
Dokaz
- Neka je G ciklička grupa s generatorom g∈G. Naime, imamo G=⟨g⟩ (svaki element u G je neka potencija od g.)
- Neka su a i b proizvoljni elementi u G. Tada postoji n, m∈Z takvi da je a=gn i b=gm.
- Stoga dobivamo ab=ba za proizvoljno a, b∈G. Dakle, G je abelova grupa.
Kako znati je li grupa ciklična?
4 odgovora. Konačna grupa je ciklička ako i samo ako ima točno jednu podgrupu svakog djelitelja svog reda. Dakle, ako pronađete dvije podgrupe istog reda, onda grupa nije ciklična, a to ponekad može pomoći.
Što je ciklička grupa objasniti na primjeru?
Na primjer, (Z/6Z)×={1, 5} , a budući da je 6 dvostruko neparni prosti, ovo je ciklička grupa. … Kada je (Z/nZ)× ciklički, njegovi se generatori nazivaju primitivnim korijenima po modulu n. Za prost broj p, grupa (Z/pZ)× je uvijek ciklična, sastoji se od ne-nultih elemenata konačnog polja reda p.
