Ako je A m × n matrica, tada ATA i AAT imaju iste nenulte svojstvene vrijednosti … Stoga je Ax svojstveni vektor AAT-a koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ. Analogni argument se može koristiti da se pokaže da je svaka svojstvena vrijednost različita od nule AAT-a vlastita vrijednost ATA, čime se dovršava dokaz.
Jesu li vlastite vrijednosti AAT i ATA iste?
Matrice AAT i ATA imaju iste nenulte svojstvene vrijednosti. Odjeljak 6.5 pokazao je da su vlastiti vektori ovih simetričnih matrica ortogonalni.
Je li ATA isto što i AAT?
Budući da su AAT i ATA realno simetrični, mogu se dijagonalizirati ortogonalnim matricama. Iz prethodne tvrdnje slijedi (budući da se geometrijski i algebarski višestrukost poklapaju) da AAT i ATA imaju iste vlastite vrijednosti.
Ima li ATA različite vlastite vrijednosti?
Točno. Na primjer, ako je A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , tada karakteristična jednadžba det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ3=0 nema korijen koji se ponavlja. Stoga su sve vlastite vrijednosti A različite i A se može dijagonalizirati. 3.35 Za bilo koju realnu matricu A, AtA se uvijek može dijagonalizirati.
Mogu li različiti vlastiti vektori imati istu svojstvenu vrijednost?
Dva različita svojstvena vektora koja odgovaraju istoj Svojstvena vrijednost uvijek su linearno ovisna. Dva različita svojstvena vektora koji odgovaraju istoj svojstvenoj vrijednosti uvijek su linearno ovisna.
